Chapitre 09 : Maple en géométrie

GEOMETRIE PLANE:

> restart;

Le package geometry contient des outils pour la géométrie plane :

> with(geometry);

La fonction point permet de définir un point du plan:
Syntaxes équivalentes: point(P, Px, Py) ou point(P, [Px, Py]).

Exemple: pour définir les points O(0,0) , A(-1,3) et B(4,2).

>

point(O,[0,0]):point(A,[-1,3]):point(B,[4,2]):

La fonction detail permet d'obtenir des informations sur un objet géométrique:

> detail(A);

> point(M,X,Y):

La fonction line permet de définir une droite, dont on peut avoir l'équation.

> line(AB,[A,B]):Equation(AB,[x,y]);

La fonction triangle permet de définir un triangle , dont on peut avoir l'orthocentre , ou le centre

de gravité.

> triangle(OAB,[O,A,B]):orthocenter(H,OAB):coordinates(H);

> centroid(K,OAB):coordinates(K);

La fonction circle permet de définir un cercle, dont on peut avoir le centre, ou le rayon :

> circle(C,[O,A,B]):omega:=center(C):coordinates(omega);r:=radius(C);

> detail(C);

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively

Calcul de la distance entre 2 points ou de la distance d'un point à une droite:

> distance(A,B);

> distance(M,AB);

Projeté d'un point sur une droite
projeté de M sur (AB):

> projection(P,M,AB):coordinates(P);

Equation de la parallèle ou de la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné
d1 est la parallèle à (AB) passant par K, d2 est la perpendiculaire à (AB) passant par K:

> ParallelLine(d1,K,AB):Equation(d1,[x,y]);

> PerpendicularLine(d2,K,AB):Equation(d2,[x,y]);

> ArePerpendicular(d1,d2);

Intersection de 2 droites , d'une droite et d'un cercle , de 2 cercles

> intersection(i1,d1,d2):detail(i1);coordinates(i1);

> intersection(i2,d1,C):detail(i2);

Tracé de la figure:

on remarquera le paramétrage des 2 droites d1 et d2 et du cercle C .

La fonction display du package plots permet de représenter sur un même graphique différents

objets graphiques précédemment définis , tels ici OAB , texte , etc ...

> with(plots):

> OAB:=plot([[HorizontalCoord(O),VerticalCoord(O)],[HorizontalCoord(A),VerticalCoord(A)],
    [HorizontalCoord(B),VerticalCoord(B)],[HorizontalCoord(O),VerticalCoord(O)]],color=green):

> d1:=plot([HorizontalCoord(K)-5*t,VerticalCoord(K)+t,t=-2/3..3/4],numpoints=100,color=red):

> d2:=plot([HorizontalCoord(K)+t,VerticalCoord(K)+5*t,t=-0.5..0.75],numpoints=100,color=red):

> cercleC:=plot([HorizontalCoord(omega)+r*cos(t),VerticalCoord(omega)+r*sin(t),t=0..2*Pi],
   numpoints=100,color=blue):

> texte:=textplot([[-1.15,3,`A`],[4+0.15,2,`B`],[1.8,5.2,`D2`],[-2,1.9,`D1`],[1.3,1.9,`K`]],color=black):

> display({OAB,d1,d2,cercleC,texte},scaling=constrained);

AUTRES OUTILS DU PACKAGE LINALG POUR LA GÉOMÉTRIE:

Le package linalg d'algèbre linéaire contient également quelques outils utiles en géométrie

euclidienne, notamment:

dotprod (v1,v2) calcule le produit scalaire(hermitien) des vecteurs v1 et v2.

norm (v) calcule la norme du vecteur v.

crossprod (v1,v2) calcule le produit vectoriel des vecteurs v1 et v2 (en dimension 3).

GramSchmidt ({v1,v2,...,vn}) retourne la base orthogonale déduite de la famille {v1,v2,...,vn}

par le procédé de Gram-Schmidt.

> with(linalg):
    v1:=vector([x1,y1,z1]);v2:=vector([x2,y2,z2]);

> dotprod(v1,v2);

> norm(v1);

> crossprod(v1,v2);

> v1:=vector([1,2,4]);v2:=vector([-1,6,5]);v3:=vector([2,0,3]);
    GramSchmidt({v1,v2,v3});

Représentation de polygônes réguliers, et polygônes étoilés:

> opts := filled=true, style=patch, axes=none:
    point(o,0,0):
    s1 := draw( RegularPolygon(_r7, 7, o, 3), opts, title="{7}" ):
    s2 := draw( RegularStarPolygon(_r7_2, 7/2, o, 3), opts, title="{7/2}" ):
    s3 := draw( RegularStarPolygon(_r7_3, 7/3, o, 3), opts, title="{7/3}" ):
    s4 := draw( RegularPolygon(_r9, 9, o, 3), opts, title="{9}" ):
    s5 := draw( RegularStarPolygon(_r9_2, 9/2, o, 3), opts, title="{9/2}" ):
    s6 := draw( RegularStarPolygon(_r9_4, 9/4, o, 3), opts, title="{9/4}" ):
    s7 := draw( RegularPolygon(_r11, 11, o, 3),opts, title="{11}" ):
    s8 := draw( RegularStarPolygon(_r11_3, 11/3, o, 3), opts, title="{11/3}" ):
    s9 := draw( RegularStarPolygon(_r11_5, 11/4, o, 3), opts, title="{11/5}" ):
    plots[display](array(1..3,1..3,[[s1,s4,s7],[s2,s5,s8],[s3,s6,s9]]));

GEOMETRIE DE L'ESPACE:

Le package geom3d contient des outils pour travailler la géométrie dans l'espace :

> with(geom3d);

La définition de points , de droites , de plans , se fait comme en dimension 2 par les fonctions

point , line , et plane .

On définit 4 points O,A,B,C:

> point(O,[0,0,0]):point(A,[-1,2,0]):point(B,[0,1,1]):point(C,[-1,2,1]):

> detail(A);

d est la droite passant par A dirigée par U(1,2,-1)

> U:=[1,2,-1]:line(d,[A,U]):

> plane(P,[A,B,C]):Equation(P,[x,y,z]);
    # équation du plan P=(ABC)

Un plan a une structure que l'on peut visualiser par detail :

> detail(P);

> parallel(Q, O, P):detail(Q);
    # Q est le plan passant par O et parallèle à P

> plane(P1,[O,A,B]):
    intersection(delta,P1,P):detail(delta);
    # delta est l'intersection des plans P1 et P , définie par un système paramétrique :

Warning, assume that the parameter in the parametric equations is _t

> ArePerpendicular(P,P1);

> distance(O,P);

> sphere(S,[O,A,B,C]):detail(S);

Warning, assume that the name of the axes are _x, _y and _z

> omega:=center(S):coordinates(omega);
    # centre omega de la sphère S

> projection(proj,O,P):coordinates(proj);
    # projeté de O sur le plan P

AUTRES OUTILS DU PACKAGE GEOM3D:

Des outils existent pour représenter des polyèdres, solides de l'espace éventuellement étoilés:

> octahedron(Oct,point(O,0,0,0),1.):
    stellate(StOct,Oct,1):
    draw( StOct, cutout=7/8, lightmodel=light4);

> point(e1,10,15,0), point(e2,-10,15,0), point(e3,-10,-15,0),point(e4,10,-15,0):
    r1 := 1.: point(o1,-2,2,r1):tetrahedron(p1,o1,r1):
    r2 := 2.: point(o2,-4,5,r2):cube(p2,o2,r2):
    r3 := 5./2: point(o3,-7,8,r3):octahedron(p3,o3,r3):
    r4 := 3.: point(o4,-3,12,r4):dodecahedron(p4,o4,r4):
    r5 := 7./2: point(o5,3,18,r5):icosahedron(p5,o5,r5):
    r6 := 6.: point(o6,15,9,r6):GreatStellatedDodecahedron(p6,o6,r6):
    r7 := 9./2: point(o7,11,23,r7):GreatDodecahedron(p7,o7,r7):
    r8 := 7.: point(o8,17,-9,r8):SmallStellatedDodecahedron(p8,o8,r8):
    r9 := 15./2: point(o9,2,-11,r9):GreatIcosahedron(p9,o9,r9):
    fl := [[25,30,0],[-10,30,0],[-10,-20,0],[25,-20,0]]:
    pic1 := plots[polygonplot3d](fl,color=sienna):
    pic2 := draw([seq(p||i,i=1..9)],color=COLOR(RGB,.9335294125,.9129411760,.5205882350)):
    plots[display]([pic2,pic1],style=patch,orientation=[-97,52],title="Les neuf polyèdres réguliers",
     lightmodel=light4);

Exercice corrigé 9:

Déterminer et représenter la surface S, ensemble des points M dont la somme des

carrés des distances aux droites d1: y=x , z= 1 et d2 : y=-x , z=-

1 est égale à 3.

> restart:with(geom3d):

d1 est l'intersection de 2 plans p1 et q1:

> plane(p1,y-x=0,[x,y,z]):plane(q1,z-1=0,[x,y,z]):intersection(d1,p1,q1):

d2 est l'intersection de 2 plans p2 et q2:

> plane(p2,y+x=0,[x,y,z]):plane(q2,z+1=0,[x,y,z]):intersection(d2,p2,q2):

Définition d'un point quelconque M:

> point(M,X,Y,Z):

Equation et représentation de S:

> S:=distance(M,d1)^2+distance(M,d2)^2-3;

> with(plots):

> implicitplot3d(S,X=-1..1,Y=-1..1,Z=-1/sqrt(2)..1/sqrt(2),numpoints=300,color=blue,axes=BOXED);

Il s'agit d'un ellipsoide d'équation de centre O.

Travail dirigé 9:

Soit ABC un triangle du plan affine euclidien , M un point quelconque que l'on projette

orthogonalement en H1,H2,H3 sur (BC) , (CA) , (AB) respectivement .

Montrer que M est sur le cercle circonscrit à ABC si et seulement si H1,H2,H3 sont

alignés, sur la droite dite de Simson associée à M:

On travaillera dans un repère orthonormal tel que A(0,0) , B(1,0) , C(-2,3).
 

haut de cette page