تمرين 004 (حساب نهاية مثلثية)

لج أو تسجل لتعلق

لا مشاركات

سبت, 06/13/2009 - 00:45

محمد الواجي

متصل

عضو منذ: 06/01/2009

تمرين
احسب النهاية التالية $\lim_{x\Rightarrow \frac{\pi}{2}} \prod_{k=1}^{n}\frac{1-sin^k(x)}{cos^2(x)}$
.
.
.
.
.
.
.
.
.
الحل:
لدينا : $\frac{1-sin^k(x)}{cos^2(x)}=\frac{1-sin^k(x)}{1-sin^2(x)}=\frac{(1-sin(x))(\sum_{p=0}^{k-1}(sin^p(x))}{(1-sin(x))(1+sin(x))}$
اذن: $\lim_{x\Rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin^k(x)}{cos^2(x)}=\lim_{x\Rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sum_{p=0}^{k-1}(sin^p(x))}{1+sin(x)}=\frac{k}{2}$
ومنه : $\lim_{x\Rightarrow \frac{\pi}{2}} \prod_{k=1}^{n}\frac{1-sin^k(x)}{cos^2(x)}<br /> =\prod_{k=1}^{n} \lim_{x\Rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin^k(x)}{cos^2(x)}=\prod_{k=1}^{n} \frac{k}{2}= \frac{n!}{2^n}$