تمرين 003 (النهايات و الإتصال)

لج أو تسجل لتعلق

لا مشاركات

سبت, 06/13/2009 - 00:06

فاروق بوروين

متصل

عضو منذ: 06/01/2009

تمرين :

لتكن $f$ دالة عددية متصلة على $R$
بحيث : $\lim_{x\to +\infty}f(x)=a$ و $\lim_{x\to -\infty}f(x)=b$ مع : $ab<0$
بين ان: $\exists(\omega,\gamma)\in R^2 / f(\omega).f(\gamma)<0$
و استنتج ان المعادلة $f(x)=0$ تقبل على الاقل حلا في $R$

.
.
.
.
.
.
الحل

نفترض ان $a>0$ و $b<0$ .
ليكن $\epsilon >0$

لدينا : $\lim_{x\to +\infty}f(x)=a \Leftrightarrow (\forall\epsilon>0) (\exists\alpha>0) (\forall x\in D_f)$
$x>\alpha \Rightarrow |f(x)-a|<\epsilon$

نضع $\epsilon = a$

نجد ان $(\forall a >0) (\exists \alpha >0) (\forall x\in D_f)$
$x>\alpha \Rightarrow |f(x)-a|< a$
$\Leftrightarrow x>\alpha \Rightarrow 0< f(x)< 2a$

من اجل $x=\alpha +1$

لدينا : $f(\alpha +1)>0$

من جهة اخرى لدينا : $\lim_{x\to -\infty}f(x)=b \Leftrightarrow (\forall\epsilon>0) (\exists\beta<0) (\forall x\in D_f)$
$x<\beta \Rightarrow |f(x)-b|<\epsilon$