تمرين 002 (الإتصال)

لج أو تسجل لتعلق

لا مشاركات

جمعة, 06/12/2009 - 23:46

فاروق بوروين

متصل

عضو منذ: 06/01/2009

تمرين :

ليكن $(x,y)\in R$
بحيث: $f(x+y)=f(x)+f(y)$
بين ان: الدالة $f$ متصلة على 0 $\Leftarrow$ الدالة $f$ متصلة على R

الحل:
لدينا $f$ متصلة على 0 اذن: $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$

ولدينا: $\forall(x,y)\in R : f(x+y)=f(x)+f(y)$
اذن من اجل $x=y=0$ نجد $f(0)=0$
لنبين ان $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$
ليكن $x_0\in R$ :
لدينا: $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{h\rightarrow 0}f(x_0+h)=\lim_{h\rightarrow 0}\big(f(x_0)+f(h)\big)$
$=\lim_{h\rightarrow 0}f(x_0)+\lim_{h\rightarrow 0}f(h)=f(x_0)$