حساب نهاية متلتية 2

لا مشاركات

جمعة, 06/12/2009 - 23:42

محمد الواجي

متصل

عضو منذ: 06/01/2009

تمرين
نضع

$f_n(x)=\frac{1-\prod_{k=1}^{n}cos^k(kx)}{x^2}$
لنحسب نهاية $f_n$ عند0
بواسطة الترجع يمكن البرهنة ان

$f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}(\prod_{p=0}^{k-1}cos^p(px))\frac{1-cos^k(kx)}{x^2}$
لدينا

$\lim_{x\to0}\prod_{p=0}^{k-1}cos^p(px)=1$
ولدينا

$\frac{1-cos^k(kx)}{x^2}=k^2\frac{1-cos(kx)}{(kx)^2}\sum_{i=0}^{k-1}cos^i(kx)$
و

$\lim_{x\to0}\sum_{i=0}^{k-1}cos^i(kx)=k$
و

$\lim_{x\to0}\frac{1-cos(kx)}{(kx)^2}=\frac{1}{2}$
ادن

$\lim_{x\to0}\frac{1-cos^k(kx)}{x^2}=\frac{k^3^}{2}$
ومنه

$\lim_{x\to0}f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{k^3}{2}=\frac{(n(n+1))^2}{8}$
ملاحظة يمكن البرهنة بالترجع ان

$\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{(n(n+1))^2}{4}$ :mrgreen: :twisted:

استطلاع الرأي

الإمتحان الوطني المغربي للرياضيات الخاص بشعبة العلوم الرياضية في إطار الدورة العادية لإمتحانات الباكلوريا لسنة 2009

سهل

15%

في المتناول

33%

صعب

52%

مجموع الأصوات: 447